Numerical methods to approximate traveling wave solutions of nonlinear advection-diffusion-reaction equations--semilinear discretizations

Abstract

In this work, we propose numerical methods to approximate the solutions of generalized forms of two famous, multi-dimensional models of mathematical physics, namely, Fisher’s and Huxley’s equations. The diffusive models investigated in this thesis consider the inclusion of several, generalized terms, like nonlinear advection/convection, nonlinear reaction, and nonlinear damping. The reaction laws considered are generalizations or extensions of the corresponding term in the classical Fisher’s equation from population dynamics, while the generalized advection/convection factors are extended forms of the corresponding advection/convection term in the famous Burgers equation. Meanwhile, the models with nonlinear damping appear as generalizations of Fisher’s and Huxley’s equation to the hyperbolic case. In the one-dimensional scenario, the specialized literature in the area gives account of the existence of analytical solutions for most of these models, in the form of travelingwave fronts bounded within an interval I of the real numbers. Motivated by this fact, we propose a finite-difference methodology that guarantees that, under certain analytical conditions on the model and computer parameters, estimates within I will evolve discretely into new estimates which are likewise bounded within I. The preservation of the properties of positivity and boundedness of the approximate solutions is carried out using the theory of M-matrices, which are non-singular, real, square matrices in which the entries of the inverses are positive numbers. Additionally, we establish the preservation in the discrete domain of the skew-symmetry of the solutions of the models under study. Our computational implementation of the method confirms numerically that the properties of positivity and boundedness are preserved under the analytical constraints derived theoretically. The techniques are two-step methods (three-step methods in the hyperbolic scenario), and they are consistent of first order in time and second order in space. In practice, our simulations evince a good agreement between the analytical solutions derived in the present work and the corresponding numerical approximations.

En el presente trabajo, se proponen métodos numéricos para aproximar las soluciones de formas generalizadas de dos modelos multidimensionales famosos de la física matemética, a saber, la ecuación de Fisher y la ecuación de Huxley. Los modelos que se investigan en este trabajo son ecuaciones con difusión que consideran la inclusión de varios términos genéricos, como coeficientes variables de advección/convección, reacción y amortiguamiento alineales. Así, por ejemplo, las leyes de reacción son generalizaciones o extensiones de los términos correspondientes en la ecuación clésica de dinámica poblacional de Fisher, mientras que los factores generalizados de advección/convección son extensiones de los términos de advección/conveccion de la famosa ecuación de Burgers. Por su parte, los modelos con amortiguamiento alineal aparecen como generalizaciones de las ecuaciones de Fisher y de Huxley al caso hiperbólico En el caso unidimensional, la literatura especializada en el área reporta la existencia de soluciones analíticas para la mayoría de dichos modelos, en la forma de soluciones de onda viajera acotadas dentro de un intervalo I del conjunto de los números reales. Con esta motivaci ón, se propone una metodología en diferencias finitas que garantiza que, bajo ciertas condiciones analíticas sobre los parámetros del modelo y las constantes computacionales, aproximaciones iniciales que se encuentran acotadas en I, producen nuevas aproximaciones que están también acotadas dentro de I. La conservación de las propiedades de positividad y acotación de las soluciones aproximadas se demuestra usando la teoría de M-matrices, las cuales son matrices cuadradas, reales, no singulares, en las que todas las entradas de sus matrices inversas son números reales positivos. Además, se demuestra la propiedad de conservación de la antisimetría en los modelos computacionales propuestos. La implementación computacional de nuestras técnicas confirma numéricamente que las propiedades de positividad y acotación son conservadas bajo las restricciones analíticas derivadas en la teoría. Las técnicas propuestas son métodos de dos pasos (tres pasos en el escenario hiperbólico), consistentes de primer orden en el tiempo, y de segundo orden en el espacio. En la práctica, las simulaciones muestran buenas aproximaciones a las soluciones analíticas empleadas en el presente trabajo.