Estudio de ecuaciones diferenciales fraccionarias y sus aplicaciones

Abstract

Resumen: En este trabajo de tesis se aborda el estudio de ecuaciones diferenciales fraccionarias en el sentido de Caputo desde dos enfoques: el primero orientado al modelado de un fenómeno físico y el otro orientado al análisis teórico de sistemas de control. En el primer capítulo, los datos mostraron que, para una cadena homogénea sin perturbaciones, la ecuación que mejor modela la curva de la catenaria es la clásica. Esto evidencia que al introducir un parámetro fraccionario arbitrario no se garantiza una mejora respecto al modelo clásico. Sin embargo, al añadir diferentes pesos en el centro de la cadena, se observó que ciertos órdenes fraccionarios describen mejor este nuevo fenómeno y además permiten obtener una mejor aproximación para la altura mínima de la curva. Por otra parte, en el segundo capítulo se mostró que la conveniencia de emplear un modelo fraccionario frente al clásico depende del índice fraccionario y de las condiciones iniciales del sistema, reforzando la idea de que ningún enfoque debe privilegiarse de manera automática. En conjunto, los resultados de esta tesis evidencian que la aplicación del cálculo fraccionario debe ser cuidadosa, ya que debe estar respaldada por evidencia experimental o por las condiciones particulares del sistema estudiado, evitando su uso indiscriminado en problemas donde los modelos clásicos ya son adecuados.

Abstract: This thesis studies fractional differential equations in the Caputo sense from two different perspectives: the modeling of a physical phenomenon and the theoretical analysis of control systems. In the first chapter, experimental data showed that, for a homogeneous hanging chain without perturbations, the classical catenary equation provides the best description of the curve. This result indicates that the arbitrary introduction of a fractional parameter does not necessarily improve the classical model. However, when additional weights are placed at the center of the chain, certain fractional orders provide a more accurate description of the resulting phenomenon and yield a better approximation of the minimum height of the curve. In the second chapter, it is shown that the convenience of using a fractional model instead of a classical one depends on the fractional order as well as on the initial conditions of the system, reinforcing the idea that neither approach should be preferred automatically. Overall, the results of this thesis show that the application of fractional calculus must be carried out with caution and supported by either experimental evidence or the particular characteristics of the system under study. Consequently, the indiscriminate use of fractional models should be avoided in situations where classical models already provide an adequate description.