Modelación con ecuaciones diferenciales estocásticas

Abstract

Resumen: Esta tesis aborda dos temas principales. En primer lugar, se explora un teorema de punto fijo, el cual entre muchas aplicaciones es una herramienta fundamental en la demostración de soluciones para una amplia gama de ecuaciones diferenciales, tanto ordinarias como parciales. Este teorema se formula en el contexto del espacio de funciones uniformemente integrables. En la segunda parte, se adopta un enfoque estocástico al trabajar con dos modelos matemáticos, los cuales se muestran en los capítulos dos y tres. El objetivo es calcular el primer y segundo momento de primera pasada, es decir, el tiempo promedio que un proceso estocástico requiere para pasar de un estado a otro. El primer modelo que se examina, usualmente conocido como SIS, divide la población en dos clases: susceptibles e infectados. Este modelo se utiliza para analizar el comportamiento de enfermedades infecciosas y cómo se produce el intercambio entre ambas clases. El segundo modelo es el crecimiento logístico, ampliamente conocido por modelar el crecimiento de poblaciones. Para ambos modelos, se aplican los resultados teóricos en datos reales. En efecto, se evalúa si estos datos se ajustan a los modelos propuestos y, finalmente, se calculan valores esperados de manera numérica. Es importante destacar que los datos reales utilizados son de relevancia clínica o poblacional, lo que añade un componente práctico significativo al análisis realizado.

Abstract: This thesis addresses two main topics. Firstly, it explores a fixed-point theorem, which, among many applications, is a fundamental tool in proving the existence of solutions for a wide range of differential equations, both ordinary and partial. This theorem is formulated within the context of the space of uniformly integrable functions. In the second part, a stochastic approach is adopted by working with two mathematical models, which are presented in chapters two and three. The objective is to calculate the first and second moments of the first passage time, that is, the average time a stochastic process requires to transition from one state to another. The first model examined, commonly known as the SIS model, divides the population into two classes: susceptible and infected. This model is used to analyze the behavior of infectious diseases and how the exchange between these two classes occurs. The second model is the logistic growth model, widely recognized for modeling population growth. For both models, the theoretical results are applied to real-world data. Specifically, it is evaluated whether these data fit the proposed models, and finally, some expected values are calculated numerically. It is important to note that the real-world data used are of clinical or population relevance, adding a significant practical component to the analysis conducted.