Resumen:
Esta tesis aborda dos temas principales. En primer lugar, se explora un teorema de punto fijo,
el cual entre muchas aplicaciones es una herramienta fundamental en la demostración de soluciones
para una amplia gama de ecuaciones diferenciales, tanto ordinarias como parciales. Este teorema se
formula en el contexto del espacio de funciones uniformemente integrables.
En la segunda parte, se adopta un enfoque estocástico al trabajar con dos modelos matemáticos,
los cuales se muestran en los capítulos dos y tres. El objetivo es calcular el primer y segundo momento
de primera pasada, es decir, el tiempo promedio que un proceso estocástico requiere para pasar de un
estado a otro. El primer modelo que se examina, usualmente conocido como SIS, divide la población
en dos clases: susceptibles e infectados. Este modelo se utiliza para analizar el comportamiento de
enfermedades infecciosas y cómo se produce el intercambio entre ambas clases. El segundo modelo
es el crecimiento logístico, ampliamente conocido por modelar el crecimiento de poblaciones.
Para ambos modelos, se aplican los resultados teóricos en datos reales. En efecto, se evalúa
si estos datos se ajustan a los modelos propuestos y, finalmente, se calculan valores esperados de
manera numérica. Es importante destacar que los datos reales utilizados son de relevancia clínica o
poblacional, lo que añade un componente práctico significativo al análisis realizado.
Abstract:
This thesis addresses two main topics. Firstly, it explores a fixed-point theorem, which, among
many applications, is a fundamental tool in proving the existence of solutions for a wide range of
differential equations, both ordinary and partial. This theorem is formulated within the context of
the space of uniformly integrable functions.
In the second part, a stochastic approach is adopted by working with two mathematical models,
which are presented in chapters two and three. The objective is to calculate the first and second
moments of the first passage time, that is, the average time a stochastic process requires to transition
from one state to another. The first model examined, commonly known as the SIS model, divides
the population into two classes: susceptible and infected. This model is used to analyze the behavior
of infectious diseases and how the exchange between these two classes occurs. The second model is
the logistic growth model, widely recognized for modeling population growth.
For both models, the theoretical results are applied to real-world data. Specifically, it is evaluated
whether these data fit the proposed models, and finally, some expected values are calculated
numerically. It is important to note that the real-world data used are of clinical or population
relevance, adding a significant practical component to the analysis conducted.
