Homotopy classification of bilinear maps on spheres

Abstract

The problem of composition of quadratic forms, originated from Euler’s fomula, addresses some basic questions, the initial question is: For what dimensions can such sums of squares formulas exist? Subsequent questions involve classification and analysis of quadratic forms which can occur in a composition formula. Historically, a connection has been found between composition formulas and bilinear maps on spheres, and such bilinear maps gives a homotopy class of spheres. The main objective is to continue on with the work developed all along in search for new nonsingular or normed bilinear maps associated to composition formulas, also to classify both new and existing maps. This aided by Framed cobordism, which is a recent tool not quite used before to treat this problem. The notion of cobordism consists in a method to classify manifolds, this by using a parametrisation called frame. This study is related with certain homotopy groups through the computation of the unoriented cobordism groups, whose computation is followed by a couple of steps, these steps provide a new-fashioned algorithm to solve the problem for finitely-presented groups. In this work I exploited the properties of this method, applied to existing mappings and then made their the classification (i.e. to find the homotopy class represented by the mapping) through the results supported by framed cobordism. To be more specific, I treated with framed manifolds associated to a bilinear map, namely, the Hopf construction map of a given either nonsingular or normed bilinear map, obtained through the product operation of elements on further algebraic structures.

El problema de composición de formas cuadráticas, originado por la fórmula de Euler, nos dirige a hacernos algunas preguntas, la primera es: ¿Para qué dimensiones pueden existir dichas sumas de cuadrados? Las siguientes preguntas involucran la clasificación y el análisis de las formas cuadráticas relacionadas en una fórmula de composición. Históricamente, se ha encontrado una conexión entre fórmulas de composición y mapeos bilineales sobre esferas, donde dichos mapeos sobre esferas aportan una clase de homotopía de esferas. El objetivo principal es continuar con el trabajo desarrollado hasta ahora en la b´usqueda de nuevos mapeos bilineales ya sean no singulares o normados asociados a fórmulas de composición, así como clasificar mapeos tanto nuevos como algunos ya existentes. Esto último ayudado por Cobordismo enmarcado, la cual es una herramienta reciente no muy utilizada para lidiar con este problema. La noción de cobodismo consiste en un método para clasificación de variedades mediante una parametrización llamada marco. Este estudio se relaciona con ciertos grupos de homotopía a través del cálculo del grupo de cobordismo no orientado, dicho cálculo seguido por algunos pasos que, a la vez proveen un nuevo algoritmo para resolver el problema presentado para grupos finitos. En este trabajo exploto las propiedades de este método aplicadas en mapeos existentes y entonces clasificarlos (es decir, encontrar la clase de homotopía representada por el mapeo) mediante los resultados sustentados por el cobordismo enmarcado. Siendo más específico, trato con variedades enmarcadas asociadas a un mapeo bilineal, en concreto, el mapeo de contrucción de Hopf de un mapeo bilineal dado, ya sea no singular o normado, obtenido por la operación del producto en estructuras algebraicas superiores.