Structure-preserving methods for nonlinear population systems with fractional diffusion

Abstract

Resumen En este manuscrito trabajamos con diferentes sistemas de ecuaciones diferenciales parciales enmultiples dimensiones. En estas ecuaciones tomamos el término de difusión y advección como fraccionario de tipo Riesz, y el término de reacción como no lineal. Consideramos condiciones iniciales y de frontera. Existen soluciones analíticas de estas ecuaciones que son complicadas de obtener. Proponemos métodos basados en diferencias finitas para aproximar las soluciones de estos sistemas de ecuaciones. En el primer sistema de ecuaciones consideramos tanto un método implícito como explicito, donde la derivada fraccionaria se encuentra en el término de difusión. El segundo método es un método implicito, donde la derivada fraccionaria está en el término de difusión. El tercer método es un método explicito basado en la técnica de Bhattacharya, en este método no aplicamos derivada fraccionaria. Todos los métodos se basan en el uso de las diferencias centradas fraccionarias, ya que éstas permiten aproximar la derivada fraccionaria de Riesz. Para cada método se estudian sus propiedades estructurales (existencia, unicidad, positividad y acotación) como sus propiedades numéricas (consistencia, estabilidad y convergencia). Por último, para cada método se hacen simulaciones, con el objetivo de ilustrar las aproximaciones a las soluciones analíticas y, además, mostrar que los métodos son capaces de preservar sus propiedades estructurales y numéricas.

Abstract In this manuscript we work with differents partial differential equations systems in multiple dimensions. In these equations, the diffusion and advection terms are fractional of Riesz type, and the reaction term is nonlinear. We consider the initial–boundary conditions as positive and bounded. The analytical solutions of these equations are difficult to obtain. We propose methods based on finite differences to approximate the solutions of these systems of equations. In the first system of equations we consider an explicit method as an implicit method where the Riesz derivative is in the diffusion term. In the second system of equations we consider an implicit method where the Riesz derivative is in the diffusion term. In the third system of equations we consider an explicit method which is based on the Bhattacharya approach and we will not apply the Riesz derivative. All the methods are based on the use of fractional centered differences, which help us to approximate the Riesz fractional derivatives. For each method, we study the structural properties (existence, uniqueness, positivity and boundedness) and the numerical properties (consistency, stability, and convergence). Finally, for each method, we perform some simulations to depict the numerical approximations. Moreover, we show that all methods are capable to preserve the structural properties.