Design and analysis of dissipation-preserving models for Higgs’ boson equation in the de Sitter space-time

Abstract

Resumen Desde la confirmación de la existencia del bosón de Higgs, su modelo ha tenido gran impacto en la comunidad científica, especialmente en el modelo estándar de la física de partículas, la necesidad de la constante cosmológica, así como su creación experimental en colisionadores de adrones e investigaciones sobre la masa de dicha partícula. En este trabajo, presentamos una serie de esquemas en diferencias finitas con diferentes enfoques para la obtención de una solución aproximada a la ecuación del bosón de Higgs en el espacio-tiempo de de Sitter. Dichos esquemas conservarán las propiedades variacionales presentes en su forma continua, tales como la disipación de la energía en el tiempo. Cabe destacar que la mayoría de los resultados obtenidos en esta disertación son válidos para p ∈ N dimensiones espaciales, aunque las simulaciones son realizadas para p ⩽ 3. Además, en los diferentes esquemas considerados en esta tesis, se llevó a cabo un análisis riguroso de consistencia, unicidad y estabilidad. Todos los esquemas son convergentes con un orden cuadrático en tiempo y en espacio. El análisis se efectuó para un modelo mucho más general donde el coeficiente de difusión (que depende del tiempo en nuestro trabajo) y el potencial (que es una función no lineal de la solución) son funciones diferenciables en general. Es importante mencionar que también se consideró una extensión del modelo de Higgs que considera la presencia de difusión fraccionaria de Riesz. En las implementaciones computacionales mostradas en este trabajo, hacemos énfasis especial en demostrar la presencia de soluciones tipo “burbuja”. Dichas soluciones son típicas en el modelo de Higgs y son de gran relevancia en el mundo científico. Keywords: fractional Higgs boson equation; de Sitter space-time; Riesz space-fractional equations; fractional centered differences; fractional energy method; stability and convergence analyses

Abstract Since the confirmation of the existence of the Higgs boson, his model has a great impact on the scientific community, especially on the standard model of particle physics. The need for the cosmological constant, its experimental creation in adron colliders, and investigations on the mass of the said particle. In this work, we present a series of finite difference schemes with different approaches to obtain an approximate solution to the Higgs boson equation in Sitter spacetime. Said schemes ging to preserve the variational properties present in their continuous form, such as the dissipation of energy over time. Most of the results obtained in this dissertation are valid for p ∈ N spatial dimensions, although the simulations are performed for p ⩽ 3. Furthermore, in the different schemes treated in this thesis, a rigorous analysis of consistency, uniqueness, and stability was carried out. All the schemes are convergent with a quadratic order in time and space. The analysis was carried out for a much more general model where the diffusion coefficient (which depends on time in our work) and the potential (which is a non-linear function of the solution) are generally differentiable functions. It is important to mention that it is also considered an extension of the Higgs model that considers the presence of fractional Riesz diffusion. In the computational implementations shown in this work, we place special emphasis on demonstrating the presence of “bubble” type solutions. These solutions are typically in the Higgs model and are of great relevance in the scientific world. Keywords: fractional Higgs boson equation; de Sitter space-time; Riesz space-fractional equations; fractional centered differences; fractional energy method; stability and convergence analyses