Estudio de la convergencia de la masa de un sistema de ecuaciones no-lineales de reacción-difusión fraccionarias

Abstract

Resumen Se estudia un sistema de dos ecuaciones diferenciales con difusión fraccionaria con coeficientes dependientes del tiempo. Usando el teorema de punto fijo se demuestra la existencia local del sistema. Asumiendo la existencia de la solución mild se verifica que esta es una solución clásica del sistema. En general, se asume la positividad de la solución y se discute por qué este supuesto, para un sistema, no es fácil de verificar. Asumiendo la positividad de la solución, se estudia el comportamiento asintótico de la masa del sistema. A saber, primero se dan condiciones sobre los parámetros del sistema que garantizan la positividad de la masa y otras cuando esta se extingue. Más aún, restringiendo la condición temporal sobre la difusión del sistema, en caso de la positividad de la masa, se da una tasa del comportamiento asintótico de ésta. Cabe hacer notar que las condiciones que aquí se discuten generalizan otros trabajos anteriores.

Abstract A system of two differential equations with fractional diffusion and time-dependent coefficients is studied. Using the fixed point theorem it is proved the local existence of the system. Assuming the existence of a mild solution it is verified that this is a classical solution of the system. In general, the positivity of the solution is assumed, and it is discussed why this postulation, referred to a system, is not easy to verify. Assuming the positivity of the solution, the asymptotic behaviour of system mass is studied. Namely, conditions on system parameters that guarantee the positivity of mass are given first, and then other ones for its extinguishing. Moreover, restricting the temporal condition on the diffusion system, in case of the positivity of mass, an asymptotic behaviour rate of it is given. Note that the conditions discussed here generalize previous works.