On a simple fully discrete finite-difference approximation of a nonlinear diffusion-reaction model in microbial ecology

Abstract

Resumen En este trabajo se presenta un m etodo simple, de diferencias nitas para aproximar soluciones positivas y acotadas de una ecuaci on diferencial parcial parab olica con la difusi on no lineal que describe la din amica de crecimiento de colonias de bacterias. Un teorema sobre la existencia y unicidad de soluciones positivas y acotadas del modelo considerado se encuentra disponible en la literatura est andar; sin embargo, las soluciones anal ticas para este modelo son dif ciles de calcular en forma exacta. El enfoque lineal utilizado en este manuscrito proporciona una manera conveniente de representar el m etodo en forma de vector a trav es de la multiplicaci on de las nuevas aproximaciones por una matriz cuadrada que, bajo condiciones adecuadas, resulta ser unaM-matriz. Los hechos de que cadaM-matriz es invertible y que todas las entradas de sus inversas son n umeros positivos, se emplean para determinar las condiciones que garantizan que los per les iniciales positivos y acotados devienen en nuevas aproximaciones positivas y acotadas. El m etodo es relativamente simple, el tama~no de paso temporal es variable en general, y su implementaci on computacional e ciente hace uso del m etodo de gradiente de bi-conjugado estabilizado. Proporcionamos simulaciones num ericas con el n de evidenciar que el m etodo preserva en la pr actica los aspectos positivos y acotados de las aproximaciones. Desde un punto de vista cient co, nuestra t ecnica se puede emplear en posibles trabajos futuros relacionados con la simulaci on controlada del crecimiento de colonias microbianas en las ciencias de los materiales y la ingenier a biom edica.

Asbtract In this work, we present a simple, nite-di erence method to approximate positive and bounded solutions of a parabolic partial di erential equation with nonlinear di usion which describes the growth dynamics of colonies of bacteria. A theorem on the existence and uniqueness of positive and bounded solutions of the model considered is available in the standard literature; however, analytical solutions for this model are di cult to calculate in exact form. The linear approach used in this manuscript provides a convenient way to represent the method in vector form through the multiplication of the new approximations by a square matrix which, under suitable conditions, turns out to be an M-matrix. The facts that every M- matrix is invertible and that all the entries of their inverses are positive numbers, are employed to elucidate conditions which guarantee that positive and bounded initial pro les evolve into positive and bounded new approximations. The method is relatively simple, the temporal step-size is variable in general, and its e cient computational implementation makes use of the stabilized bi-conjugate gradient method. We provide numerical simulations in order to evince that the method preserves in the practice the positive and the bounded characters of the approximations. From a scienti c perspective, our technique may be employed in possible future works related to the controlled simulation of the growth/decay of microbial colonies, in material science and biomedical engineering.