A computationally efficient algorithm to solve some systems of nonlinear fractional partial differential equations

Abstract

Resumen Es bien sabido que la simulación de sistemas fraccionarios es una tarea difícil desde todos los puntos de vista. En particular, la implementación por computadora de algoritmos numéricos para simular sistemas fraccionarios de ecuaciones diferenciales parciales en tres dimensiones es una tarea difícil que no se ha resuelto satisfactoriamente. En este trabajo, proponemos un método numérico para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas (fraccionarias o no fraccionarias) que generalizan varios modelos conocidos de física, química y biología. El esquema es una técnica explícita que tiene la ventaja de ser fácil de implementar para cualquier científico con un conocimiento mínimo sobre programación científica. Proponemos una implementación eficiente que explota las ventajas del ´algebra matricial ya disponibles en Fortran y otros lenguajes. El algoritmo se presenta maten áticamente y también en pseudocódigo, y en el apéndice se proporciona una implementación básica en Fortran del algoritmo informático. Este código es susceptible de ser compilado en paralelo usando OpenMP, de donde se deduce que el tiempo de la computadora se puede reducir sustancialmente. Como aplicación, proporcionamos algunas simulaciones ilustrativas sobre la formación de patrones de Turing en un sistema tridimensional de sustancias inhibidoras-activadoras. Los gráficos se obtuvieron utilizando funciones de Matlab con las salidas numéricas generadas por nuestro código Fortran. En el método computacional, se programó el método numérico obtenido previamente. Un total de 3 diferentes algoritmos fueron desarrollados para obtener el mejor de ellos, en cuanto a tiempo de ejecución. Una vez que el resultado fue favorable, se procedió a realizar un sistema completo, el cual contiene una interfaz grafica para manipular los parámetros del algoritmo de manera más fácil. El sistema fue probado bajo una rubrica de evaluación y se diseñó un nuevo sistema a partir de los resultados obtenidos en la evaluación.

Abstract It is well know that the simulation of fractional systems is a difficult task from all points of view. In particular, the computer implementation of numerical algorithms to simulate fractional systems of partial differential equations in three dimensions is a hard task which has no been solved satisfactorily. In this work, we propose a numerical method to solve systems of hyperbolic (fractional o non-fractional) partial differential equations that generalize various known models from physics, chemistry and biology. The scheme is an explicit technique which has the advantage of being easy to implement for any scientist with minimal knowledge on scientific programming. We propose a computer implementation which exploits the advantages of the efficient matrix algebra already available in Fortran and other languages. The algorithmis presentedmathematically as well as in pseudo-code, and a raw Fortran implementation of the computer algorithm is provided in the appendix. This code is susceptible to be compiled in parallel using OpenMP, whence it follows that the computer time can be substantially reduced. As application, we provide some illustrative simulations on the formation of Turing patterns in a threedimensional system of inhibitor-activator substances in physics. The graphs were obtained using functions of Matlab with the numerical outputs generated by our Fortran code. In the computational method, the previously obtained numeric method was programmed. A total of 3 different algorithms were developed to get the best of them, in terms of runtime. Once the result was favorable, a complete system was carried out, in which it would contain a graphical interface to manipulate the algorithm parameters more easily. The system was tested under an evaluation rubric and a new system was designed based on the results obtained in the evaluation.