Analysis and simulation of pattern formation in fractional hyperbolic systems

Abstract

In this thesis, firstly we investigate a hyperbolic partial differential equation that generalizes the classical wave equation. The model considers a spatial Laplatian of fractional order in terms of Riesz fractional derivatives, and a generalized potential function. To approximate the solution of this model we propose a finite difference method with second-order consistency based on fractional centered differences. This numerical approximation, besides of being stable and convergent, has the property of conserving or dissipating the system’s energy under the same parametric and boundary conditions as the continuous model. In the second part, we study a generalized form of a two-dimensional coupled hyperbolic system that describes an activator-inhibitor chemical reaction that produces stationary spatial structures known as Turing patterns. The reaction terms are polynomial type and the diffusive terms are fractional Riesz Laplacians with differentiation orders in (0,1) (subdiffusion) and (1,2] (superdiffusion). A finite-difference methodology based on the use of fractional centered differences was designed to approximate the solutions of the problem. We prove the existence and the uniqueness of the solutions of the numerical method and establish its main numerical properties, namely, quadratic consistency, stability and quadratic convergence. Numerical simulations show the appearance of Turing patterns under subdiffusive conditions, and not only under the scenario previously reported in literature of superdiffusive conditions.

En esta tesis, en primer lugar estudiamos una ecuación diferencial parcial hiperbólica fraccionaria que generaliza la ecuación de onda clásica. El modelo considera un laplaciano espacial en términos de la derivada fraccionaria de Riesz, y una función de potencial generalizada. Para aproximar la solución de este modelo proponemos un método de diferencias finitas con orden de consistencia cuadrático, el cual incorpora diferencias centradas fraccionarias. Esta aproximación numérica, además de ser estable y convergente, tiene la propiedad de conservar o disipar la energía del sistema bajo las mismas condiciones paramétricas y de frontera que el modelo continuo. En la segunda parte, estudiamos una forma generalizada de un sistema hiperbólico bidimensional que describe una reacción química de tipo activador-inhibidor que produce patrones espaciales estacionarios conocidos como patrones de Turing. Los términos de reacción son de tipo polinomial, en tanto que los términos de difusión son laplacianos fraccionarios de Riesz con órdenes de diferenciación en (0,1) (subdifusión) y (1,2] (superdifusión). Para aproximar las soluciones del problema se diseñó una metodología de diferencias finitas basada en el uso de diferencias centradas fraccionarias. Demostramos la existencia y unicidad de las soluciones del método numérico y establecemos sus principales propiedades numéricas, a saber, consistencia cuadrática, estabilidad y convergencia cuadrática. Las simulaciones numéricas del método muestran, tal como lo reportan otros estudios, la aparición de patrones de Turing en escenarios de superdifusión. Adicionalmente, mostramos que los patrones de Turing también se presentan bajo condiciones de subdifusión.