On the asymptotic behavior of a semilinear non-homogeneous partial differential equation

Abstract

En este trabajo estudiamos el comportamiento asint´otico de las soluciones de una ecuaci´on diferencial parcial no homog´enea semilineal. Comenzamos probando la existencia de una soluci´on suave para nuestra ecuaci´on de inter´es haciendo uso del teorema del punto fijo de Banach. Tambi´en demostramos que nuestra soluci´on es acotada. A continuaci´on, establecemos la regularidad temporal de nuestra soluci´on utilizando el teorema del valor medio, la desigualdad de Gronwall y dando expl´ıcitamente la primera derivada. Para finalizar el cap´ıtulo 2, demostramos que nuestra soluci´on es, de hecho, una soluci´on cl´asica, probamos que nuestra soluci´on es positiva y, adem´as, demostramos que nuestra soluci´on local es una soluci´on global. En el cap´ıtulo 3 determinamos las condiciones bajo las cuales nuestra soluci´on es integrable. Finalmente, estudiamos el comportamiento asint´otico de nuestra soluci´on y discutimos brevemente las consecuencias y la importancia de nuestros resultados finales. 2

In this work we study the asymptotic behavior of the solutions of a semilinear non-homogeneous partial differential equation. We begin by proving the existence of a mild solution for our equation of interest making use of Banach’s fixed point theorem. We also prove our solution is bounded. Next, we establish the temporal regularity of our solution using the mean value theorem, Gronwall’s inequality and giving explicitly the first derivative. To finish chapter 2, we prove that our mild solution is in fact a classical solution, we prove that our solution is positive and moreover, we prove that our local solution is a global solution. In chapter 3 we determine conditions under which our solution is integrable. Finally, we study the asymptotic behavior of our solution and we briefly discuss the consequences and importance of our final results.