Parabolic partial differential equations with fractional diffusion :

Abstract

Resumen En este manuscrito, trabajamos con las ecuaciones de Burgers–Fisher y Burgers–Huxley en multiples dimensiones, las cuales son ecuaciones diferenciales parabólicas. En estas ecuaciones tomamos el término de difusión y advección como fraccionario de tipo Riesz, y el término de reacción como no lineal. Consideramos condiciones iniciales y de frontera como positivas y acotadas. Existen soluciones analíticas de estas ecuaciones que son del tipo onda viajera, positivas y acotadas. Proponemos dos métodos basados en diferencias finitas para aproximar las soluciones de estas ecuaciones. El primer método es un método implícito el cual está basado en la técnica de Crank–Nikolson. El segundo método es un método explicito el cual está basado en la técnica de Bhattacharya. Ambos métodos se basan en el uso de las diferencias centradas fraccionarias, ya que éstas permiten aproximar la derivada fraccionaria de Riesz. Para cada método se estudian sus propiedades estructurales (existencia, unicidad, positividad y acotación) como sus propiedades numéricas (consistencia, estabilidad y convergencia). Por último, para cada método se hacen simulaciones, con el objetivo de ilustrar las aproximaciones a las soluciones analíticas y, además, mostrar que los métodos son capaces de preservar sus propiedades estructurales y numéricas.

Abstract In this manuscript, we work with the well–known Burgers–Fisher and Burgers–Huxley equations in multiple dimensions, which are parabolic differential equations. In these equations, the diffusion and advection terms are fractional of Riesz type, and the reaction term is nonlinear. We consider the initial–boundary conditions as positive and bounded. We know that some analytical solutions of these equations are traveling–wave solutions, positive and bounded. We propose two methods based on finite differences to approximate the solutions of these equations. The first method is an implicit method which is based on the Crank–Nicolson technique. The second method is an explicit method which is based on the Bhattacharya approach. Both methods are based on the use of fractional centered differences, which help us to approximate the Riesz fractional derivatives. For each method, we study the structural properties (existence, uniqueness, positivity and boundedness) and the numerical properties (consistency, stability, and convergence). Finally, for each method, we perform some simulations to depict the numerical approximations. Moreover, we show that all methods are capable to preserve the structural properties.