Dissipation-preserving methods for multidimensional nonlinear damped wave equations of fractional order

Abstract

Resumen En este documento, trabajamos con varios modelos: la ecuación sine-Gordon, además de una ecuación de onda no lineal con p dimensiones espaciales, amortiguamiento y derivadas espaciales fraccionarias y finalmente el caso p = 2 para un método particular. El primer modelo tuvo fines prácticos pues sirvió de base para el desarrollo numérico de los siguientes modelos, sine-Gordon se caracteriza por tener una función densidad de energía constante, usamos un método de discretización explícito que nos permite conservar las cantidades antes mencionadas con un buen orden de consitencia, que además es estable y convergente. Usando estas ideas, usamos la generalización de la ecuación de onda con p dimensiones espaciales y derivadas fraccionarias al estilo de Riesz de ordenes en (1, 2], una función de densidad de energía propuesta en la literatura, además del método de diferencias centradas fraccionarias para aproximar las derivadas de Riesz y notamos que las propiedades descritas en sine-Gordon siguen presentes, aumentando la disipación de la energía si consideramos un término de amortiguamiento, un orden cuadrático de consitencia, estabilidad y convergencia además de existencia de una solución al ser un método explícito, para este método se desarrolló un código de Matlab en el caso unidimensional, presentamos además algunas simulaciones. En el último modelo consideramos la misma ecuación con p = 2 dimensiones espaciales, aplicamos un operador compacto en el sentido de análisis funcional, el cual acelera el método hacia la solución, como el método es implícito demostramos existencia de una solución bajo ciertas condiciones, mostrando estabilidad, consistencia y convergencia.

Abstract In this document, we work with several models: The sine-Gordon equation, a nonlinear wave equation with p spatial dimensions and fractional derivatives and finally the case p = 2 for a particular method. The first model has practical meaning, because it worked as inspiration for the following methods, the sine-Gordon equation is characterized for having an energy density function which conserves the energy through time, we use an explicit discretization method which allows us to keep such quantity with a good order of consistency, besides it is stable and convergent. We use the ideas from sine-Gordon to work with a generalization of the wave equation, considering p spatial dimensions and Riesz fractional derivatives of orders in (1, 2], an energy density function proposed in the literature, and an explicit method with fractional centered differences for the Riesz derivatives, we notice that the properties present on sine-Gordon still remain, besides when we add a damping constant, the energy dissipates. We obtained a method with quadratic order of consistency, proved stability and convergence, and a solution for the method always exist since it is explicit. For this method, we developed a Matlab code for the unidimensional case and shown some simulations. In the last model, we consider the same equation but with p = 2, we apply a compact operator, in the functional analysis sense, which accelerates the method towards the solution, since the method is implicit we proved the existence of a solution under some conditions, stability, consistency, and convergence.