Structure-preserving methods for Riesz space-fractional Sine-Gordon equations

Abstract

In this chapter, we investigate numerically a model governed by a multidimensional nonlinear wave equation with damping and fractional diffusion. The governing partial differential equation considers the presence of Riesz space-fractional derivatives of orders in (1, 2], and homogeneous Dirichlet boundary data are imposed on a closed and bounded spatial domain. The model under investigation possesses an energy function which is preserved in the undamped regime. In the damped case, we establish the property of energy dissipation of the model using arguments from functional analysis. Motivated by these results, we propose an explicit finite-difference discretization of our fractional model based on the use of fractional centered differences. Associated to our discrete model, we also propose discretizations of the energy quantities. We establish that the discrete energy is conserved in the undamped regime, and that it dissipates in the damped scenario. Among the most important numerical features of our scheme, we show that the method has a consistency of second order, that it is stable and that it has a quadratic order of convergence. Some one- and two-dimensional simulations are shown in this chapter to illustrate the fact that the technique is capable of preserving the discrete energy in the undamped regime.

En este capítulo investigamos numéricamente un modelo gobernado por una ecuación de onda no lineal multidimensional con amortiguamiento y difusión fraccionaria. La ecuación en cuestión es una ecuación diferencial parcial que considera la presencia de derivadas fraccionarias de Riesz de órdenes en (1, 2], así como una condición de Dirichlet homogénea sobre un dominio espacial cerrado y acotado. El modelo de investigación posee una función de energía que se conserva en el régimen sin amortiguamiento. En el caso amortiguado, establecemos la propiedad de disipación de energía del modelo usando argumentos de análisis funcional. Motivados por estos resultados, proponemos una discretización explícita en diferencias finitas de nuestro modelo fraccionario, basado en el uso de diferencias centradas fraccionadas. Asociado a nuestro modelo discreto, también proponemos discretizaciones de las cantidades de energía. Más aún, establecemos el hecho que en el régimen sin amortiguamiento se conserva la energía discreta, y que se disipa en el escenario amortiguado. Entre las más importantes características numéricas de nuestro esquema, se muestra que el método tiene una consistencia de segundo orden, que es estable y que tiene un orden cuadrático de convergencia. En esta tesis se muestran algunas simulaciones de una y dos dimensiones para ilustrar el hecho de que la técnica es capaz de preservar la energía discreta en el régimen sin amortiguamiento.